与杨高石先生论幻方(2)

      当数组矩形安排时,得起点方阵的另形如图3.

39 30 31 37 28 184 193 187 186 195 对图3作收缩变换

196 205 204 198 207 25 16 22 23 14 得图4. 它是完美

182 173 174 180 171 41 50 44 43 52 方但也不特优.

131 140 139 133 142 90 81 87 88 79

1 10 9 3 12 220 211 217 218 209

13 4 5 11 2 210 219 213 212 221

143 134 135 141 132 80 89 83 82 91

170 179 178 172 181 51 42 48 49 40

208 199 200 206 197 15 24 18 17 26

27 36 35 29 38 194 185 191 192 183

图 3

39 184 30 193 31 187 37 186 28 195

13 210 4 219 5 213 11 212 2 221

196 25 205 16 204 22 198 23 207 14

143 80 134 89 135 83 141 82 132 91

182 41 173 50 174 44 180 43 171 52

170 51 179 42 178 48 172 49 181 40

131 90 140 81 139 87 133 88 142 79

208 15 199 24 200 18 206 17 197 26

1 220 10 211 9 217 3 218 12 209

27 194 36 185 35 191 29 192 38 183

32506794 图 4 35034930

 

 

10 212 181 41 139 83 27 195 198 24 33995970

23 199 194 28 87 135 40 182 211 11 33822810

51 171 16 206 87 135 218 4 183 39 33545754 67541724

38 184 3 219 139 83 205 17 170 52 33718914

39 183 210 12 205 17 89 133 174 48 32506794

和 6187806 9262728 8620038 3057606 5378616

27 195 220 2 199 23 81 141 178 44 35034930 67541724

和 7434558 10648008 7892766 3334662 5724936

差 1246752 1385280 727272 277056 346320 1991340

170 52 90 132 199 23 211 11 35 187 31952682

和 5053608 3028968 7892766 9395262 6582078

182 40 80 142 205 17 219 3 31 191 35589042 67541724

和 6092568 3375288 8620038 10503486 6997662

差A 1038960 346320 727272 A 1108224 A 415584 1818180

差A 1246752 1385280 727272 277056 346320 1991340

由A得 6092568+7434558*10503468*6997662+3028968+7892766+7892766

+9262728+3057606+5378616

 

憘拕泙櫩 4. 关于立方对角线

进入等值方阵14个数组的140个数,其对称数配对得70个数对.在研

究立方对角线时,对称数在同一个区间.取和式减半法,得70个数对立方

1 165 4492126 2 164 4410952 3 163 4330774 4 162 4251592

5 161 4173406 7 159 4020022 8 158 3944824 9 157 3870622

10 156 3797416 11 155 3725206 12 154 3653992 13 153 3583774

14 152 3514552 15 151 3446326 16 150 3379096 18 148 3247624

19 147 3183382 20 146 3120136 21 145 3057886 22 144 2996632

23 143 2936374 24 142 2877112 25 141 2818846 26 140 2761576

27 139 2705302 29 137 2595742 30 136 2542456 31 135 2490166

32 134 2438872 33 133 2388574 34 132 2339272 35 131 2290966

36 130 2243656 37 129 2197342 38 128 2152024 40 126 2064376

41 125 2022046 42 124 1980712 43 123 1940374 44 122 1901032

45 121 1862686 46 120 1825336 47 119 1788982 48 118 1753624

49 117 1719262 51 115 1653526 52 114 1622152 53 113 1591774

54 112 1562392 55 111 1534006 56 110 1506616 57 109 1480222

58 108 1454824 59 107 1430422 60 106 1407016 62 104 1363192

63 103 1342774 64 102 1323352 65 101 1304926 66 100 1287496

67 99 1271062 68 98 1255624 69 97 1241182 70 96 1227736

71 95 1215286 73 93 1193374 74 92 1183912 75 91 1175446

76 90 1167976 77 89 1161502

观察6阶,相邻两组不在同一条对角线上,取差式减半得35个数对:

边 差

1 2 81174 3 4 79182 5 7 153384 8 9 74202 10 11 72210 8964

12 13 80218 14 15 68226 16 18 131472 19 20 63246 21 22 61254 18964

23 24 59262 25 26 57270 27 29 109560 30 31 52290 32 33 50298 8964

34 35 48306 36 37 46314 38 40 87648 41 42 41334 43 44 39342 8964

45 46 37350 47 48 35358 49 51 65736 52 53 30378 54 55 28386 8964

56 57 26394 58 59 24402 60 62 43824 63 64 19422 65 66 17430 8964

67 68 15438 69 70 13446 71 73 21912 74 75 8466 76 77 6474 8964

 

合 计 348142 324198 613536 289338 275294

324198+289388=613536

且 有 153384+21912=131472+43824=109560+65736=175296 崐 进展得如此顺利出乎预料.

我们稍事休息,利用这个时间给您讲一点命名的故事.

减半法,有时我称之为"丁昱文减半法".减半思考是丁昱文设想的一

种减轻思考难度的思考方式.由于减半法在幻方研究中价值很大,命名可

以突出它的重要性.

在我的文字中,第一个命名是幻方棋中的"杨弋下法".杨弋是我市有

名的"神童",是第一位跟我学幻方的小朋友,于1996年的寒假,当时他在幼

几园大班.我研究幻方棋是指定棋号找位置,那天,是1996年3月11日,我同

小杨弋下幻方棋,他突然来了一个变招,指定棋盘上的一个位置向我要棋

号.这是我从未思考过的问题,它的解法是在梦中完成的,这个故事写在《

智慧之窗》《使者遇仙记》一文中.现将杨弋的"幻方集锦"打印给您.供欣

赏.

大局已定,我们来安排编表.

 

1一11,12一22, 23一33, 34一44,45一55,56一66, 67一77,78一88,

89一99,100一110,111一121, 122一132,133一143,144一154,155一165.

在15个数组中取以下10个数组:

1一 11 23一 33 34一 44 45一 55 67一 77

155一165 133一143 122一132 111一121 89一 99.

差154 110 88 66 22

由 154+66=110+88+22 得等值方阵行分组;

分解第一组 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 求等值方阵的列分组.

由差式减半得: 10 8 6 4 2. 其和为30.

这个数组使我大吃一惊,它的对半分解不成立.这意味着这批数组的

对称型等值方阵不存在."苦其心志",我们还得重新思考.

为得到等值方阵的列分组,当第一个数组取跳三型时才成立.它的10

个数是: 1 2 3 4 5 (跳过6 7 8三数)

13 12 11 10 9

其差为: 12 10 8 6 4

于是有: 12+8=10+6+4.

取跳三型对称数组7对,它们是:

1一 13, 14一 26, 27一 39, 40一 52, 53一 65, 66一 78, 79一 91,(92一104)

183一195,170一182, 157一169,144一156, 131一143, 118一130 105一117.

差182 156 130 96 78 52 26

在7个差数中任取其5得: 182+ 52=130+78+26 得唯一解.

取 1 66 157 131 105

183 118 27 53 79

得等值方阵,如图1.取步法(Ⅲ),如图2.

 

1 3 12 10 9 5 4 2 11 13

66 68 77 75 74 70 69 67 76 78

157 159 168 166 165 161 160 158 167 169

131 133 142 140 139 135 134 132 141 143

105 107 116 114 113 109 108 106 115 117

79 81 90 88 87 83 82 80 89 91

53 55 64 62 61 57 56 54 63 65

27 29 38 36 35 31 30 28 37 39

118 120 129 127 126 122 121 119 128 130

183 185 194 192 191 187 186 184 193 195

憘拕櫫

 

1 195 7414876 2 194 7301392 3 193 7189084 4 192 7077952

5 191 6967996 9 187 6539932 10 186 6435856 11 185 6332956

12 184 6231232 13 183 6130684 27 169 4846492 28 168 4763584

29 167 4681852 30 166 4601296 31 165 4521916 35 161 4216156

36 160 4142656 37 159 4070332 38 158 3999184 39 157 3929212

53 143 3073084 54 142 3020752 55 141 2969596 56 140 2919616

57 139 2870812 61 135 2687356 62 134 2644432 63 133 2602684

64 132 2562112 65 131 2522716 66 130 2484496 67 129 2447452

68 128 2411584 69 127 2376892 70 126 2343376 74 122 2221072

75 121 2193436 76 120 2166976 77 119 2141692 78 118 2117584

79 117 2094652 80 116 2072896 81 115 2052316 82 114 2032912

83 113 2014684 87 109 1953532 88 108 1941184 89 107 1930012

90 106 1920016 91 105 1911196 相邻两数求差:

1 2 113484 3 4 111132 5 9 428064 10 11 102900 12 13 100548

27 28 82908 29 30 80556 31 35 305760 36 37 72324 38 39 69972

53 54 52332 55 56 49980 57 61 183456 62 63 41748 64 65 39396

66 67 37044 68 69 34692 70 74 122304 75 76 26460 77 78 24108

79 80 21756 81 82 19404 83 87 61152 88 89 11172 90 91 8820

203524 295714 1100736 254604 242844

113484+ 8820=21756+100548=122304 52332+ 39396= 49980+41748

1 2 90 91 79 80 12 13 70 74 53 54 64 65 55 56 62 63

111132+11172=19404+102900=122304 305760+183456=428064+61152

3 4 88 89 81 82 10 11 70 74 31 35 57 61 5 9 83 87

82908+24108=37044+69972=107016

27 28 77 78 66 67 38 39

80556+26460=34692+72324=107016

29 30 75 76 68 69 36 37

 

┌──┬──────────┬──────────┬──┐

│步法│ 上 1 左 3 │ 上 1 右 3 │步法│

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │113 10 77 159 131 │134 158 76 13 109 │ │

│ 上 │ 68 157 139 114 12 │ 11 117 135 160 67 │ 上 │

│ 1 │140 116 3 66 165 │161 69 2 115 143 │ 1 │

│ 右 │ 1 74 166 142 107 │106 141 169 70 4 │ 左 │

│ 3 │168 133 105 9 75 │ 78 5 108 132 167 │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ 62 38 120 183 87 │ 83 186 119 37 65 │ │

│ 下 │185 79 61 36 129 │128 39 57 82 184 │ 下 │

│ 1 │ 35 127 194 81 53 │ 56 80 193 130 31 │ 1 │

│ 右 │ 90 55 27 126 192 │195 122 30 54 89 │ 左 │

│ 3 │118 191 88 64 29 │ 28 63 91 187 121 │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│步法│ 下 1 左 3 │ 下 1 右 3 │步法│

└──┴──────────┴──────────┴──┘

 

 

 

然而,这批数组太精彩了,我们得为它设计一套新的安排,即使只得到

一个普通幻方,它也将别具风韵.为此,引进一个对称型半等值方阵的新形

式.

取半等值方阵如图1.

 

1 10 3 8 7 5 4 9 2 11 由第一行看出,两对

45 54 47 52 51 49 48 53 46 55 称数之和为12;

133 142 135 140 139 137 136 141 134 143 由第一列看出,两对

122 131 124 129 128 126 125 130 123 132 称数之和为156.

89 98 91 96 95 93 92 97 90 99 取步法(Ⅰ)得图2;

67 76 69 74 73 71 70 75 68 77 取步法(Ⅱ)得图2;

34 43 36 41 40 38 37 42 35 44 取步法(Ⅲ)得图4.

23 32 25 30 29 27 26 31 24 33

111 120 113 118 117 115 114 119 112 121

155 164 157 112 161 159 158 163 156 165

图 2

┌──┬──────────┬──────────┬──┐

│步法│ 上 1 左 2 │ 上 1 右 2 │步法│

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ 3 96 128 133 54 │ 53 136 126 99 2 │ │

│ 上 │139 45 10 91 129 │132 90 9 48 137 │ 上 │

│ 1 │ 98 124 140 51 1 │ 4 49 143 123 97 │ 1 │

│ 右 │ 52 7 89 131 135 │134 130 92 5 55 │ 左 │

│ 2 │122 142 47 8 95 │ 93 11 46 141 125 │ 2 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │155 120 25 41 73 │ 71 44 24 119 158 │ │

│ 下 │ 30 40 67 164 113 │112 163 70 38 33 │ 下 │

│ 1 │ 69 157 118 29 34 │ 37 27 121 156 75 │ 1 │

│ 右 │117 23 43 74 162 │165 68 42 26 115 │ 左 │

│ 2 │ 36 73 161 111 32 │ 31 114 159 77 35 │ 2 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│步法│ 下 1 左 2 │ 下 1 右 2 │步法│

└──┴──────────┴──────────┴──┘

 

1 10 3 8 7 5 4 9 2 11 由第一行看出,两对

45 54 47 52 51 49 48 53 46 55 称数之和为12;

133 142 135 140 139 137 136 141 134 143 由第一列看出,两对

122 131 124 129 128 126 125 130 123 132 称数之和为156.

89 98 91 96 95 93 92 97 90 99 取步法(Ⅰ)得图2;

67 76 69 74 73 71 70 75 68 77 取步法(Ⅱ)得图2;

34 43 36 41 40 38 37 42 35 44 取步法(Ⅲ)得图4.

23 32 25 30 29 27 26 31 24 33

111 120 113 118 117 115 114 119 112 121

155 164 157 112 161 159 158 163 156 165 图 3

┌──┬──────────┬──────────┬──┐

│步法│ 上 2 左 1 │ 上 2 右 1 │步法│

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ 95 142 8 122 47 │ 46 125 11 141 93 │ │

│ 上 │ 1 124 51 98 140 │143 97 49 123 4 │ 上 │

│ 2 │ 54 96 133 3 128 │126 2 136 99 53 │ 2 │

│ 右 │135 7 131 52 89 │ 92 55 130 5 134 │ 左 │

│ 1 │129 45 91 139 10 │ 9 137 90 48 132 │ 1 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │120 41 155 25 73 │ 71 24 158 44 119 │ │

│ 下 │ 23 69 117 43 112 │165 42 115 68 26 │ 下 │

│ 2 │ 40 164 30 67 113 │112 70 33 163 38 │ 2 │

│ 右 │ 74 111 36 161 32 │ 31 159 35 114 77 │ 左 │

│ 1 │157 29 76 118 34 │ 37 121 75 27 156 │ 1 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│步法│ 下 2 左 1 │ 下 2 右 1 │步法│

└──┴──────────┴──────────┴──┘

11004140 11080832

 

1 10 3 8 7 5 4 9 2 11 由第一行看出,两对

45 54 47 52 51 49 48 53 46 55 称数之和为12;

133 142 135 140 139 137 136 141 134 143 由第一列看出,两对

122 131 124 129 128 126 125 130 123 132 称数之和为156.

89 98 91 96 95 93 92 97 90 99 取步法(Ⅰ)得图2;

67 76 69 74 73 71 70 75 68 77 取步法(Ⅱ)得图2;

34 43 36 41 40 38 37 42 35 44 取步法(Ⅲ)得图4.

23 32 25 30 29 27 26 31 24 33

111 120 113 118 117 115 114 119 112 121

155 164 157 112 161 159 158 163 156 165 图 4

┌──┬──────────┬──────────┬──┐

│步法│ 上 1 左 3 │ 上 1 右 3 │步法│

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ 45 111 │ 77 │ │

│ 上 │ 68 │ 89 │ 上 │

│ 3 │111 222 333 444 │ 75 222 333 444 555 │ 1 │

│ 左 │ 1 23 │ 70 │ 左 │

│ 1 │ 71 │ 122 │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ 73 │ │ │

│ 下 │ │ 34 74 │ 下 │

│ 1 │ 69 222 155 444 555 │111 222 333 133 555 │ 1 │

│ 右 │ 76 │ │ 左 │

│ 3 │ │ 67 │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│步法│ 下 1 左 3 │ 下 1 右 3 │步法│

└──┴──────────┴──────────┴──┘

图 4

┌──┬──────────┬──────────┬──┐

│步法│ 上 1 左 3 │ 上 1 右 3 │步法│

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ │ │ │

│ 上 │ │ │ 上 │

│ 1 │ │ │ 1 │

│ 右 │ │ │ 左 │

│ 3 │ │ │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│ │ │ │ │

│ 下 │ │ │ 下 │

│ 1 │ │ │ 1 │

│ 右 │ │ │ 左 │

│ 3 │ │ │ 3 │

├──┼──────────┼──────────┼──┤

│步法│ 下 1 左 3 │ 下 1 右 3 │步法│

└──┴──────────┴──────────┴──┘

 

 

1 3 12 10 9 5 4 2 11 13

27 29 38 36 35 31 30 28 37 39

144 146 155 153 152 148 147 145 154 156

118 120 129 127 126 122 121 119 128 130

105 107 116 114 113 109 108 106 115 117

53 55 64 62 61 57 56 54 63 65

40 42 51 49 48 44 43 41 50 52

14 16 25 23 22 18 17 15 24 26

131 133 142 140 139 135 134 132 141 143

157 159 168 166 165 161 160 158 167 169

上 1 左 3 上 1 右 3

 

27 152 127 116 3 4 106 128 156 31

上 129 107 1 35 153 154 39 5 108 119 上

1 9 36 155 120 105 109 121 145 37 13 1

右 146 118 113 10 38 28 11 117 122 147 左

3 114 12 29 144 126 130 148 30 2 115 3

166 64 42 14 139 143 18 43 54 167

下 16 131 165 62 51 41 63 169 135 17 下

1 61 49 25 133 157 161 134 15 50 65 1

右 142 159 53 48 23 24 52 57 160 132 左

3 40 22 140 168 55 56 158 141 26 44 3

下 1 左 3 下 1 右 3

14328790 13559710

107 155 126 143 160 159 139 130 145 108

13 1 12 2 11 3 10 4 9 5

12 10 8 6 4

 

1 3 12 10 9 5 4 2 11 13

1一 13. 14一 26. 27一 39. 40一 52. 53一 65.

157一169.144一156.131一143.118一130.105一117.

156 130 104 78 52

156+104=130+78+52.