《幻方研究》课

     2000年11月4日,我的母校肥西县三河中学建校60周年校庆.使我有机会给母校高三班同学介绍幻方研究的基本知识.教导处张主任亲自主持了这节课.由于这节课的成功,我将于2001年的开学之初,为高一班的同学讲《幻方研究》课. 中学同学以生力军的姿态投入幻方研究者的行列,将对推动幻方知识的普及产生深远的影响.

  特优完美幻方研究的最新进展是高次特优登上幻方舞台.2000年12月延安教育学院学报2000.4,发表了湖北南方城乡建筑学校李渺的《雪花幻方及其优化性》一文. 如图1的七阶雪花幻方被称为五次7阶.其特点是对角线的和、2次和、3次和、4次和、5次和均相等.2000年12月24日, 福州苏茂挺先生也找到两个高次特优完美幻方.一个是五次6阶如图2,一个是四次8阶如图3.

                                                     16 38 18 60 5 47 27 49

16 22 35 41 47 4 10                                  1 43 31 53 12 34 22 64

48 5 11 17 23 29 42        14 44 17 11 48 16         46 8 52 26 39 13 57 19

24 30 36 49 6 12 18        18 30 27 29 24 22         35 9 61 23 42 4 56 30

7 13 19 25 31 37 43        43 1 31 35 3 37 28        50 6 48 17 59 15 37

32 38 44 1 14 20 26       39 2 34 36 6 33 21         63 11 33 32 54 2 44

8 21 27 33 39 45 2        21 26 28 32 20 23         58 20 40 14 51 25 45 7

40 46 3 9 15 28 34       15 47 13  7  49  19        55 29 41 3 62 24 36 10

图 1                             图 2                     图 3

对角线的各次和数字如下:

一次和 175 150 260

二次和 5579 4114 10668

三次和 199675 121050 490880

四次和 7611779 3741874 23772996

五次和 301784875 119609250

        这样,《幻方研究》可以设想为三个课时: 第一课 奇数阶幻方研究,

第二课 四阶幻方接龙游戏,第三课 偶数阶幻方研究.

现将第一课的内容设计如下.

数步法

数步法有两个要素:一个是密码,一个是步法.我们用两种形式来完成

奇数阶幻方的研究: 一种是一套步法走遍全套密码;一种是一套密码取遍

全套步法.

一. 一套步法走遍全套密码

以七阶为例.七个数字的任意排列称为密码,存在7!个.横排时为位置密码,竖排时为基数密码.它们存在7!平方个配合.在以上配合中任取其一,例如1473625一3561472,得起点方阵如图4.

思考题1. 观察图4以理解位置密码与基数密码的用法.

实践题1. 任取一对七阶密码填入图6密码的相关位置并完成图6.

思考题2. 观察图5以理解行步法与列步法的用法.

以15为起点,依次横行以理解行步法上1左2的用法;

以15为起点,依次竖行以理解列步法上2左1的用法.图5走完了两横一竖,请继续完成剩下的五行.数步法编制完美幻方的这个次序,被称为"王"式安排.

实践题2. 完成了图5,就有能力编好图7.就能编成任意n阶完美幻方.

完美幻方的特点,使在起点方阵中任取的那个数,可置于图7中的任何位置.

起 点 方 阵 七 阶 完 美 幻 方

┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐

│密码│ 1│ 4│ 7│ 3│ 6│ 2│ 5│步法│上│ │ 1│ │左│ │ 2│

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 3 │15│18│21│17│20│16│19│ 上 │ │ │31│ 8│ │ │16│

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 5 │29│32│35│31│34│30│33│ │36│20│ │ │35│ │ │

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 6 │36│39│42│38│41│37│40│ 2 │ │ │ │17│43│ │32│

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 1 │ 1│ 4│ 7│ 3│ 6│ 2│ 5│ │ │29│ │ │ │21│ │

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 4 │22│25│28│24│27│23│26│ 左 │18│ │ │33│ │22│ │

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 7 │43│46│49│45│48│44│47│ │ │ │15│ │ │30│ │

├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤

│ 2 │ 8│11│14│10│13│ 9│12│ 1 │34│ │ │ │19│ │ 1│

└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘

                  图 4               图 5

起 点 方 阵 七 阶 完 美 幻 方

密码               步法     1  2
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             

                   图 6                             图 7

 

 

二. 一套密码取遍全套步法

当n阶为素数时,我们非常自由.密码可以任意选取,步法可以随便配

合,任取的那第一个数可以信手安置.现在就没那么自由了.我们为探索15

阶特优完美幻方设置了种种限制:

1. 对称型对应密码

由3*5阶矩阵所给定的密码,称为对称型对应密码

10 14 4 7 5 .横排时为位置密码,竖排时为基数密码. 所得起点方

3 1 8 15 13 阵如图8.

11 9 12 2 6

 

15 阶 起 点 方 阵

┌──┬──────────┬──────────┬──────────┐

│密码│ 10 14 4 7 5 │ 3 1 8 15 13 │ 11 9 12 2 6 │

├──┼──────────┼──────────┼──────────┤

│ 10 │145 149 139 142 140 │138 136 143 150 148 │146 144 147 137 141 │

│ 3 │ 40 44 34 37 35 │ 33 31 38 45 43 │ 41 39 42 32 36 │

│ 11 │160 164 154 157 155 │153 151 158 165 163 │161 159 162 152 156 │

├──┼──────────┼──────────┼──────────┤

│ 14 │205 209 199 202 200 │198 196 203 210 208 │206 204 207 197 201 │

│ 1 │ 10 14 4 7 5 │ 3 1 8 15 13 │ 11 9 12 2 6 │

│ 9 │130 134 124 127 125 │123 121 128 135 133 │131 129 132 122 126 │

├──┼──────────┼──────────┼──────────┤

│ 4 │ 55 59 49 52 50 │ 48 46 53 60 58 │ 56 54 57 47 51 │

│ 8 │115 119 109 112 110 │108 106 113 120 118 │116 114 117 107 111 │

│ 12 │175 179 169 172 170 │168 166 173 180 178 │176 174 177 167 171 │

├──┼──────────┼──────────┼──────────┤

│ 7 │100 104 94 97 95 │ 93 91 98 105 103 │101 99 102 92 96 │

│ 15 │220 224 214 217 215 │213 211 218 225 223 │221 219 222 212 216 │

│ 2 │ 25 29 19 22 20 │ 18 16 23 30 28 │ 26 24 27 17 21 │

├──┼──────────┼──────────┼──────────┤

│ 5 │ 70 74 64 67 65 │ 63 61 68 75 73 │ 71 69 72 62 66 │

│ 13 │190 194 184 187 185 │183 181 188 195 193 │191 189 192 182 186 │

│ 6 │ 85 89 79 82 80 │ 78 76 83 90 88 │ 86 84 87 77 81 │

└──┴──────────┴──────────┴──────────┘

图 8

2. 对称步法

15阶对称步法由对称步法的组合配套而成.经试探得有效步法48套如

图9.打"√"号的为有效步法.

实践题3. 请在有效步法中任取一个配套并完成图10.

15 阶 有 效 步 法 试 探

┌───┬───────────────────────┐

│ │ 列 步 法 │

│行步法├───────────┬───────────┤

│ │ 轴 对 称 │ 旋 转 对 称 │

├───┼───┬─┬───┬─┼───┬─┬───┬─┤

│上1左2│上1右2│√│下1左2│√│上2右1│×│下2左1│×│

│上1左3│上3左1│√│下3右1│√│上3右1│×│下3左1│×│

│上1左4│上1右4│√│下1左4│√│上4右1│√│下4左1│√│

│上1左5│上1右5│×│下1左5│×│上5右1│√│下5左1│√│

│上1左6│上1右6│×│下1左6│×│上6右1│√│下6左1│√│

│上1左7│上1右7│√│下1左7│√│上7右1│×│下7左1│×│

│上2左3│上2右3│×│下2左3│×│上3右2│√│下3左2│√│

│上2左4│上2右4│√│下2左4│√│上4右2│×│下4左2│×│

│上2左5│上2右5│×│下2左5│×│上5右2│√│下5左2│√│

│上2左6│上6左2│√│下6右2│√│上6右2│×│下6左2│×│

│上2左7│上2右7│√│下2左7│√│上7右2│√│下7左2│√│

│上3左4│上4左3│√│下4右3│√│上4右3│×│下4左3│×│

│上3左5│上5左3│√│下5右3│√│上5右3│√│下5左3│√│

│上3左6│上3右6│×│下3左6│×│上6右3│×│下6左3│×│

│上3左7│上3右7│×│下3左7│×│上7右3│√│下7左3│√│

│上4左5│上4右5│×│下4左5│×│上5右4│√│下5左4│√│

│上4左6│上3右6│×│下4左6│×│上6右4│√│下6左4│√│

│上4左7│上4右7│√│下4左7│√│上7右4│×│下7左4│×│

│上5左6│上6左5│√│下6右5│√│上6右5│√│下6左5│√│

│上5左7│上5右7│×│下5左7│×│上7右5│√│下7左5│√│

│上6左7│上7左6│√│下7左6│√│上7右6│×│下7左6│×│

└───┴───┴─┴───┴─┴───┴─┴───┴─┘

图 9

为可能得到15阶特优完美幻方,第一个进入专用卷的是113.以它为首

的这一行按选定的行步法依次进入试卷,其次序是:

113 120 118 116 114 117 107 111 115 119 109 112 110 108 106;

接着按选定的列步法走115所在的第一列,其次序是:

115 175 100 220 25 70 190 85 145 40 160 205 10 130 55.

再接下去,依次走完各行,并检验所得方阵的类型.

 

15 阶 特 优 完 美 幻 方 探 索 专 用 卷

                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             

图10

方阵类型: 一. 不是幻方 二. 普通幻方 三. 完美幻方 四. 特优完美幻方